Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

     

Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) với giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức chứa dấu quý giá tuyệt đối,…) là một trong những dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài tương đối khó và yên cầu kiến thức áp dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

Bài viết này sẽ share với các em một vài cách tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN, Max) cùng giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số cất dấu căn, chứa dấu quý giá tuyệt đối,…) qua một vài bài tập minh họa gắng thể.


° Cách tìm giá bán trị béo nhất, giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến chuyển số)

– mong muốn tìm giá trị lớn số 1 hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tất cả thể thay đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).


* ví dụ như 1: mang đến biểu thức: A = x2 + 2x – 3. Tra cứu GTNN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)2 – 4

– do (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 – 4 ≥ -4

⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

– Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ còn khi x = -1.

* lấy ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x – 5. Kiếm tìm GTLN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = -x2 + 6x – 5 = -x2 + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)2 + 4 = 4 – (x – 3)2

– vày (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x – 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)2 ≤ 4

⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* ví dụ như 3: Cho biểu thức: 

– tra cứu x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

– Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất.

– Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

– Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy

*

*

° Cách tìm giá chỉ trị lớn nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức đựng dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 phát triển thành số)

– cũng tương tự như biện pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng đặc thù của biểu thức không âm như:

*
 hoặc 
*

– vệt “=” xẩy ra khi A = 0.

Xem thêm: Sự Khác Biệt Giữa Tốc Độ Và Vận Tốc Độ, Sự Khác Biệt Giữa Tốc Độ Và Vận Tốc

* ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta thấy: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 + 3 ≥ 3

nên 

*
 dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)2 + 5 ≤ 5

nên 

*
 dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

– Ta có:

*

*

*

*

*
 nên giá bán trị nhỏ dại nhất của B là 
*
 đạt được khi:

* lấy ví dụ như 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt giá bán trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất

– Ta có: 

*

Lại có: =0,forall x>=0" />=frac74,forall x>=0" />

Dấu”=” xẩy ra khi 

*

– Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá bán trị bự nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở thành số)

– việc này cũng nhà yếu phụ thuộc vào tính ko âm của trị giỏi đối.

* lấy một ví dụ 1: tra cứu GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3

° Lời giải:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3

Dấu “=” xảy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các thay đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tốt đối,…) cùng hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều câu hỏi phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang lại hai số a, b ko âm: 

*
 (Dấu “=” xẩy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa dấu quý giá tuyệt đối:
*
 (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a.b≤ 0).

* lấy ví dụ như 1: Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

– bởi vì a,b>0 nên 

– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn call là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

Dấu “=” xảy ra khi 

– Kết luận: giá bán trị bé dại nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* lấy ví dụ 2: Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– vị a > 1 cần a – 1 > 0 ta có:

*
 <Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được>

=2sqrt(a-1)left ( frac1a-1 ight )+1=2+1=3" />

Dấu “=” xảy ra khi 

Đối chiếu đk a > 1 nên chỉ nhận a = 2; một số loại a = 0.

– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN, Max) với giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức sống trên giúp các em làm rõ hơn về dạng toán này.

Xem thêm: Soạn Văn 7 Bài Ôn Tập Tác Phẩm Trữ Tình, Soạn Bài Ôn Tập Tác Phẩm Trữ Tình

Việc vận dụng vào mỗi bài bác toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của những em, năng lực này đã có được khi những em chịu khó rèn luyện qua không ít bài tập, chúc các em học tập tốt.