Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức

     

Đối với học viên THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết. Tuy vậy để học sinh hiểu sâu và gồm hứng thú yêu cầu cho học sinh thấy được chân thành và ý nghĩa và tác dụng của khái niệm, quan trọng cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cầm cố thể.

Trong công tác toán học lớp 12, quan niệm tiếp tuyến; tính lồi, lõm của trang bị thị hàm số khá trừu tượng. Các bài tập tương quan đến chúng tuy những (thường là viết phương trình tiếp tuyến, xét tính gập ghềnh của thiết bị thị hàm số) dẫu vậy ít có bài bác tập vận dụng hai có mang này.

 




Bạn đang xem: Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức

*
12 trang
*
ngochoa2017
*
*
1830
*
0Download


Xem thêm: Top 14 Món Quà Tặng Noel Cho Các Bé Mầm Non ? Quà Tặng Noel Cho Các Bé Mầm Non

Bạn đã xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm tay nghề Dùng tiếp con đường để chứng tỏ bất đẳng thức", để cài đặt tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Cách Làm Khoai Tây Chiên Phồng, Khoai Tây Tươi Chiên Phồng Như Bong Bóng

Phần 1LÍ vị CHỌN ĐỀ TÀIĐối với học viên THPT, bài toán hiểu một khái niệm là vấn đề cần thiết. Song để học sinh hiểu sâu và tất cả hứng thú bắt buộc cho học sinh thấy được chân thành và ý nghĩa và chức năng của khái niệm, đặc biệt cần áp dụng khái niệm kia vào giải một trong những bài toán nuốm thể.Trong lịch trình toán học tập lớp 12, tư tưởng tiếp tuyến; tính lồi, lõm của đồ dùng thị hàm số hơi trừu tượng. Các bài tập tương quan đến bọn chúng tuy nhiều (thường là viết phương trình tiếp tuyến, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số) dẫu vậy ít có bài xích tập vận dụng hai quan niệm này.Chứng minh bất đẳng thức là 1 bài toán hay và cạnh tranh và thường gặp mặt trong những kì thi vào đại học, cđ và các kì thi học viên giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lo lắng khi chắt lọc phương pháp. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi chỉ dẫn một kĩ thuật đơn giản và dễ dàng (đó là dùng tiếp đường kết hợp với tính lồi, lõm của đồ thị hàm số để minh chứng bất đẳng thức) dẫu vậy có kết quả khi xử lý một lớp việc về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá bán trị lớn số 1 và bé dại nhất của một biểu thức. Điều đặc trưng là học tập sinh rất có thể được triết lý cách giải ngay lập tức từ đầu.Ý tưởng của phương pháp này là: “Bằng phương pháp xét vị trí tương đối của tiếp đường và đồ vật thị hàm số ta suy ra một BĐT”. Để có tác dụng được điều đó ta rất có thể dựa vào tính lồi, lõm của trang bị thị hàm số hoặc đo lường và thống kê trực tiếp. Theo cách thức này ta rất có thể chứng một cách đơn giản và dễ dàng BĐT Jenxen. Hơn thế, nó còn giải quyết được những bài toán mà BĐT Jenxen không up load được (như bài xích 5, bài 6, bài 7). Như vậy phương thức này mạnh hơn hẳn BĐT Jenxen.Xuất phân phát từ phần nhiều lí bởi vì nêu trên, tôi ra quyết định viết đề tài sáng tạo độc đáo kinh nghiệm này cùng với hy vọng cung cấp cho học sinh một phương thức có hiệu lực hiện hành để minh chứng BĐT. Đề tài cũng rất có thể làm tài liệu tìm hiểu thêm cho giáo viên dạy ôn thi đại học hay bồi dưỡng học viên giỏi. Tuy nhiên, vày điều kiện thời gian có hạn và biện pháp trình bày rất có thể chưa thật tốt nên chắc hẳn rằng không thể kiêng khỏi phần đa thiếu sót, siêu mong các bạn độc đưa đọc với góp ý đến tôi.Phần 2NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀII. đại lý lí thuyết1. Khái niệm về tính chất lồi, lõm của vật thị hàm sốCho hàm số có đạo hàm trên khoảng tầm .Đồ thị của hàm số được call là lồi trên khoảng tầm nếu tại phần nhiều điểm tiếp tuyến đường của trang bị thị hàm số nằm phía bên trên của đồ vật thị hàm số.Đồ thị của hàm số được gọi là lõm trên khoảng chừng nếu tại những điểm tiếp tuyến của đồ vật thị hàm số nằm phía dưới của đồ thị hàm số.2. Tín hiệu lồi, lõm của vật dụng thị hàm sốCho hàm số gồm đạo hàm đến trung học cơ sở trên khoảng tầm .Nếu với mọi thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng .Nếu với mọi thì trang bị thị của hàm số lõm trên khoảng tầm .3. Dấn xétCho những hàm số và xác minh trên khoảng và bao gồm đồ thị theo lần lượt là (C) và (G). Khi đó(C) nằm trên (G) Nếu trang bị thị hàm số lồi trên khoảng tầm và là tiếp đường của đồ vật thị hàm số tại điểm thì (1)Đối với thứ thị hàm số lõm ta bao gồm bất đẳng thức ngược lại. Bất đẳng thức (1) chất nhận được ta đánh giá biểu thức trải qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa, ta hoàn toàn có thể chọn c thế nào cho dấu đẳng thức xẩy ra theo đúng yêu mong của bài toán.II. Bài xích tập áp dụngBài 1 (BĐT Cô - si). đến a1, a2, , an là những số ko âm. Chứng tỏ rằngChứng minh. Trường hợp có một trong những ai = 0 (i = 1, 2, , n) thì bđt là hiển nhiên. Hiện thời ta xét trường thích hợp ai > 0, "i Î 1, 2, , n. Phân tách hai vế cho ta đượcĐặt thì xi > 0 thoả mãn và bđt thay đổi hay Xét hàm số . Ta tất cả suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng .Tiếp con đường của đths tại điểm có phương trình là suy ra (1)Áp dụng bđt (1) mang đến x1, x2, , xn và cộng vế lại ta đượcKết hợp với ta tất cả điều yêu cầu chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi xuất xắc .Bài 2 (BĐT Jenxen) mang đến hàm số tất cả đạo hàm cung cấp 2 trên khoảng tầm .Nếu thì và thoả mãn ta tất cả (1)Nếu thì ta tất cả bất đẳng thức ngược lại.Chứng minh. Đặt thì . Tiếp tuyến đường của đths trên điểm có phương trình là .Do cần đồ thị hàm số lõm trên khoảng chừng . Vị vậytại điểm tiếp con đường nằm dưới thiết bị thị. Từ đó suy raThay ta được . Nhân nhị vế cùng với ta được. Cộng vế n BĐT ta đượcBởi và bắt buộc ta được đó là đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi minh chứng tương tự.Trường hợp sệt biệt: giả dụ thì BĐT (1) trở thànhNhận xét. Đây là cách chứng minh ngắn gọn gàng và dễ dàng nắm bắt nhất so với những cách chứng minh đã biết trong những tài liệu. Không tính ra, dùng tiếp đường ta còn rất có thể giải được các bài toán mà lại BĐT Jenxen không xử lý được.Bài 3 (BĐT Bécnuli). Mang lại và số thực . Chứng tỏ rằnga) b) hội chứng minh. Xét hàm số .Ta có Tiếp tuyến đường của đồ dùng thị hàm số tại điểm (0 ; 1) bao gồm pt là .Nếu thì , do đó đths lõm trên khoảng chừng Suy ra .Nếu thì , vì thế đths lồi trên khoảng chừng Suy ra .Đẳng thức xẩy ra khi hoặc hoặc bài bác 4 (ĐH 2003) cho các số dương x, y và z đồng tình x + y + z £ 1. Chứng minh rằngGiải. Xét hàm số . Vì chưng rằng đẳng thức xảy ra khi nên bọn họ xét vật dụng thị của hàm số và tiếp tuyến đường của nó tại điểm . Ta tất cả . Phương trình tiếp tuyến của đồ vật thị hàm số trên điểm là . Suy ra đồ thị hàm số lõm trên khoảng tầm .Do kia tại điểm tiếp đường nằm bên dưới đồ thị, bởi vậy ta có. Tương tự đối với và cùng lại ta được (do ). Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi .Nhận xét. Cái hay của kĩ thuật này ngơi nghỉ chỗ:Thứ nhất, ta hoàn toàn có thể đánh giá chỉ một biểu thức thông qua biểu thức bậc nhất.Thứ hai, ta rất có thể chọn vị trí của tiếp tuyến thế nào cho bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng.Bài 5 (India, 1995) cho rằng số dương có tổng bằng 1. Minh chứng rằngGiải. Xét hàm số . Do rằng đẳng thức xẩy ra khi nên bọn họ xét thiết bị thị của hàm số với tiếp con đường của nó tại điểm . Ta gồm .Tiếp đường của đồ gia dụng thị hàm số tại điểm bao gồm phương trình là suy ra trang bị thị hàm số lõm trên khoảng chừng và vì thế tiếp đường của nó tại điểm nằm phía bên dưới đồ thị. Bởi thế ta bao gồm . Áp dụng bất đẳng thức này mang đến và cộng vế lại ta đượcĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Bài 6. Chứng tỏ rằng, vào tam giác ABC, ta cóChứng minh. Xét hàm số . Bất đẳng thức xảy ra dấu bởi khi phải ta xét tiếp con đường của đồ gia dụng thị hàm số trên điểm . Ta bao gồm nên tiếp tuyến bao gồm phương trình là . Cần đồ thị hàm số lồi trên khoảng . Vì thế tại điểm tiếp đường nằm bên trên đồ thị, từ đó ta gồm . Áp dụng bất đẳng thức này cho và cộng vế lại ta đượcNhận xét.Bằng biện pháp này ta gồm thể minh chứng được những bất đẳng thức cơ bản cho những hàm số .Các bất đẳng thức trên rất có thể được minh chứng dựa vào BĐT Jenxen. Mặc dù BĐT Jenxen ko được đề cập cho trong lịch trình toán học phổ quát (có thể vị sự chứng tỏ BĐT này hơi phức tạp). Bây giờ, sử dụng tiếp tuyến ta sẽ chứng minh BĐT Jenxen một cách 1-1 giản.Bài 7. Cho những số dương thỏa mãn . Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thứcS = Giải.Ta có Xét hàm số (1). Do tính chất của vấn đề nên ta có thể dự đoán giá bán trị lớn số 1 đạt được khi . Bởi vì vậy ta sẽ đối chiếu vị trí của đồ dùng thị với tiếp tuyến đường của nó trên điểm .Đạo hàm . Tiếp con đường của trang bị thị hàm số (1) tại điểm tất cả phương trình .Đạo hàm cấp hai suy ra trang bị thị hàm số (1) lồi trên khoảng . Do đó tại điểm tiếp đường của đồ gia dụng thị hàm số (1) nằm phía bên trên đồ thị hàm số (1). Từ kia ta bao gồm . Áp dụng bất đẳng thức này mang lại số dương ta được . Nhân nhì vế với số b > 0 ta suy ra . Tương tự như ta có.. Cộng vế tía bất đẳng thức này ta được.Cuối cùng thực hiện bất đẳng thức và giả thiết , rút gọn ta chiếm được . Từ đó .Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi . Vậy giá bán trị lớn nhất của S là .Nhận xét. Đôi khi trả thiết lồi, lõm không được thoả mãn. Lúc đó ta sẽ đối chiếu vị trí của tiếp tuyến đường và đồ thị hàm số bằng chứng minh trực tiếp.Bài 8. Chứng tỏ rằng, với mọi số thực dương a, b, c tán thành a + b + c = 3 ta có.Giải.Xét hàm số . Ta bao gồm . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm tất cả phương trình là . Suy ra đồ thị hàm số không luôn luôn luôn lõm trên khoảng chừng . Tuy nhiên ta vẫn đang còn bất đẳng thức (1)(vì BĐT này tương tự với BĐT ).Áp dụng BĐT (1) mang đến số b > 0 ta được (2). Bởi nên(2).Tương tự, cùng lại ta được .Cuối cùng sử dụng BĐT và giả thiết ta thu đượcNhận xét. Trong chứng tỏ các BĐT làm việc trên, trả thiết là quan trọng. Bởi vậy, so với các BĐT chưa đến sẵn mang thiết này mà bao gồm tính đẳng cấp, ta cũng có thể tự tạo nên các điều kiện của đổi thay (chuẩn hoá) rồi sử dụng cách thức trên.Bài 9 (2003 USA Math Olympiad)Cho là hầu như số dương. Chứng tỏ rằngGiải. Đặt . Khi ấy là rất nhiều số dương với thoả mãn , và bất đẳng thức cần minh chứng trở thànhHayXét hàm số . Vì rằng đẳng thức xẩy ra khi đề nghị ta xét tiếp tuyến đường của trang bị thị hàm số tại điểm . Ta tất cả Tiếp tuyến của thiết bị thị hàm số tại điểm gồm phương trình là . đổi dấu hai lần trên khoảng chừng . Cho nên vì vậy đồ thị hàm số không hoàn toàn lồi trên khoảng chừng . Tuy vậy ta vẫn đang còn bất đẳng thức (Vì BĐT này tương tự với ).Tương trường đoản cú ta có các BĐT đối với y cùng z, cộng vế lại và áp dụng ta nhận được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , có nghĩa là .Bài tập từ luyệnTrong tam giác nhọn ABC, minh chứng rằnga) b) c) d) 2) cho các số dương hợp ý . Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 3) cho các số dương ưng ý . Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức (1997 Japanese Math Olympiad) mang lại là đều số thực dương. Chứng tỏ rằng .Chứng minh rằng với tất cả tam giác ABC với số ta bao gồm bất đẳng thức sau.Phần 3KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊSáng kiến tay nghề của tôi đã giải quyết được những sự việc sau:1. Giúp học sinh hiểu sâu hơn các khái niệm: tiếp tuyến, tính lồi, lõm của đồ vật thị hàm số. Thấy được xem ứng dụng của rất nhiều khái niệm này trong chứng tỏ bất đẳng thức, thông qua đó gây được hứng thú, sinh sản được ý thức và ý thức học tập bộ môn.2. Cung ứng cho học sinh một công cụ đơn giản nhưng có hiệu lực thực thi khi minh chứng một số bất đẳng thức có dạng như vẫn nêu. Rộng nữa, trong quá trình chứng minh, học viên được thực hành viết phương trình tiếp đường tại một điểm; xét tính lồi, lõm của đồ gia dụng thị hàm số. Đó là những vấn đề cơ phiên bản trong lịch trình toán học tập lớp 12.3. Trải qua việc minh chứng BĐT, tạo nên các em khả năng làm việc độc lập, sáng sủa tạo, phạt huy về tối đa tính tích cực và lành mạnh của học viên theo đúng tinh thần phương thức mới của Bộ giáo dục và đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục và hạn chế được vai trung phong lí sợ vấn đề về chứng tỏ BĐT với còn hoàn toàn có thể tạo ra đông đảo BĐT mang lại riêng mình.Qua thực tế giảng dạy siêng đề này tôi thấy những em học viên không những nắm rõ được phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài xích toán cụ thể mà còn vô cùng hứng thú khi học tập chăm đề này. Khi học trên lớp cùng qua các lần thi demo đại học, số học viên làm được bài bác về BĐT cao hơn hẳn các năm trước và các em không được học chăm đề này.Một số đề xuấtMỗi bài toán thường là có rất nhiều cách giải, việc học viên phát hiện tại ra những cách giải không giống nhau cần được khuyến khích. Song giữa những cách giải đó đề nghị phân tích rõ ưu thế và giảm bớt từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần chú ý tới những phương pháp giải bài xích bản, có phương thức và có thể áp dụng phương pháp đó mang lại nhiều bài toán khác. Với lòng tin như vậy và theo hướng này các thầy gia sư cùng những em học sinh hoàn toàn có thể tìm ra được không ít kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau. Chẳng hạn, những bài toán về áp dụng tính đối chọi điệu của hàm số; dùng đạo hàm để chứng tỏ BĐT; áp dụng cực trị vào tìm giá chỉ trị bự nhất, bé dại nhất của hàm số; ứng dụng của tích phân hay tổ hợp và xác suất;