Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

     



Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

*
32 trang
*
trường đạt
*
*
3707
*
2Download


Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Mở Bàn Phím Ảo Trên Windows 8 /8, Hướng Dẫn Cách Mở Bàn Phím Ảo Trên Win 7

Bạn sẽ xem 20 trang mẫu của tư liệu "19 phương thức chứng minh Bất đẳng thức", để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên


Xem thêm: Quy Định Về Phân Loại, Phân Cấp Công Trình Xây Dựng Theo Quy Định Mới Nhất 2021

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B cùng B >C + A>B A+C >B + C + A>B cùng C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B và C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 với A > 1 A >A + m > n > 0 và 0 0)+ ( vệt = xẩy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 để ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z vị (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z lốt bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xẩy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với tất cả x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: chứng tỏ rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để chứng minh AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng minh "m,n,p,q ta đều phải có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi lấy một ví dụ 2: chứng minh rằng với tất cả a, b, c ta luôn luôn có :Giải: Ta có : , Đúng với mọi a, b, c.Phương pháp 2 : sử dụng phép biến đổi tương đươngKiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương cùng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức vẫn được chứng minh là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 buộc phải phải xẩy ra trường hòa hợp trên có nghĩa là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Ví dụ 5: minh chứng rằng : Giải:Ta tất cả : tương tự như ta bao gồm :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta tất cả : tựa như : , cùng vế theo vế những bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: sử dụng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 cho a, b ,c là các số ko âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cần sử dụng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vệt “=” xảy ra khi a = b = c phương pháp 4:Bất đẳng thức Cô sy loài kiến thức: a/ Với hai số ko âm : , ta có: . Dấu “=” xảy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số ko âm :Dấu “=” xẩy ra khi chăm chú : ta cần sử dụng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho biến đổi số không âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt phát triển thành pt bậc 6 theo t yêu cầu ta đặt lúc ấy phương trình tất cả dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương đương với : .Ví dụ 2 : cho x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Tìm kiếm GTLN của p =Giải : phường = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu như a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên p = 3 – Q 3-=Vậy max phường = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: đến a, b, c >0 . Minh chứng rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :Tương trường đoản cú :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp nhì BDT tựa như (2) rồi nhân cùng với nhau sẽ được Từ (1),(3) suy ra (*). Lốt “=” xẩy ra khi a = b = c tốt ABC là đông đảo .Ví dụ 5:Cho . Chứng tỏ rằng: Giải: Đặt bao gồm 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:Dấu “=” xảy ra khi hay (Quy cầu : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt nếu như a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , thế thì: khía cạnh khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một đợt nữa:Ví dụ 2: đến tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi cỗ số có n số ko âm: thế thì: Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,,m thì sao cho: , tuyệt Ví dụ 1: Cho chứng minh rằng: Giải: ta có: vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang đến 4 số a,b,c,d ngẫu nhiên chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà lấy ví dụ như 3: chứng minh rằng : Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski bí quyết 1: Xét cặp số (1,1,1) cùng (a,b,c) ta gồm 3 Điều phải minh chứng Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ còn khiVí dụ 1: cho ABC bao gồm 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn nửa đường kính R = 1 với S là diện tích tan giác. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không bớt tính bao quát ta giả sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xẩy ra ABC đều. Lấy một ví dụ 2(HS từ bỏ giải): a/Cho a,b,c>0 với a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y lấy ví dụ như 3: cho a>b>c>0 cùng . Chứng tỏ rằngGiải: vị a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta gồm ==Vậy lốt bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: đến a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta tất cả Do abcd =1 đề nghị cd = (dùng )Ta có (1) phương diện khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: mang đến a-1, Z thì . Vết ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khi b) Dạng mở rộng: - đến a > -1, thì . Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi a = 0.- cho thì . Dấu bằng xẩy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : minh chứng rằng .GiảiNếu tuyệt thì BĐT luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự như ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có bài toán tổng quát tháo sau đây:“Cho chứng minh rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh giống như bài trên).Ví dụ 3: cho . Minh chứng rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: vấn đề tổng quát lác dạng này“ đến n số Ta luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc điểm bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)Ví dụ 2: mang lại a,b,c>0 vừa lòng . Minh chứng Giải: Ta tất cả :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân chia hai vế đến abc > 0 ta có Ví dụ 3: mang lại 0 1-a-b-c-dGiải: Ta bao gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab bởi a>0 , b>0 đề xuất ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) do c 0 ta tất cả (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều bắt buộc chứng minh)Ví dụ 4: cho 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ (1) và (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ ` ví dụ 1: cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo đặc điểm của tỉ lệ thành phần thức ta có (1) còn mặt khác : (2) từ bỏ (1) và (2) ta tất cả 1 chứng minh rằng Giải: Ta bao gồm với k = 1,2,3,,n-1 vì chưng đó: ví dụ như 2: chứng tỏ rằng: cùng với n là số ng ... 1 . Ta đề xuất chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng với n= k+1Vậy theo nguyên lý quy nạp: lấy ví dụ như 5: đến , . Chứng minh rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được bệnh minhVí dụ 6: mang lại , . Minh chứng rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta đề nghị chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc bệnh minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: đưa sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy lấy ví dụ như 8: chứng tỏ rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta yêu cầu chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: chứng minh phản chứng kiến thức: 1) mang sử phải chứng minh bất đẳng thức nào kia đúng , ta hãy mang sử bất đẳng thức kia sai cùng kết phù hợp với các giả thiết nhằm suy ra điều vô lý , điều vô lý hoàn toàn có thể là điều trái với trả thiết , hoàn toàn có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần minh chứng là đúng 2) mang sử ta phải chứng minh luận đề “p q”Muốn chứng minh (với : trả thiết đúng, : tóm lại đúng) phép chứng tỏ được thực hiên như sau:Giả sử không tồn tại ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải có (hay đúng)Như vậy để tủ định luận đề ta ghép toàn bộ giả thiết của luận đề với đậy định tóm lại của nó . Ta thường dùng 5 vẻ ngoài chứng minh phản bệnh sau : A - sử dụng mệnh đề phản hòn đảo : “P Q” B – đậy định rôi suy trái đưa thiết C – tủ định rồi suy trái với điều đúng D – che định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – đậy định rồi suy ra kết luận :Ví dụ 1: Cho cha số a,b,c thỏa mãn nhu cầu a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng tỏ rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 vì thế a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 vày a 0 b + c 0 tựa như ta gồm b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn nhu cầu điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải: trả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo trả thiết ta bao gồm 4(b+d) 2ac (2) từ (1) với (2) xuất xắc (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức và có tối thiểu một các bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 với xyz = 1. Chứng minh rằng nếu như x+y+z > thì có một trong các ba số này lớn hơn 1 Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vày xyz = theo giả thiết x+y +z > đề nghị (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong tía số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thật vậy ví như cả cha số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái đưa thiết) Còn trường hợp 2 trong 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 bắt buộc a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều yêu cầu chứng minh2) minh chứng rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta tất cả c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta bao gồm điều phải chứng minh b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta tất cả đpcm c) vế trái rất có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều đề nghị chứng minh* Dùng biến đổi tương đương 1) cho x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta tất cả (vì xy = 1) cho nên vì vậy BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng phải ta gồm điều nên chứng minh2) đến xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta tất cả BĐT cuối này đúng vì chưng xy > 1 .Vậy ta có đpcm* sử dụng bất đẳng thức phụ1) mang lại a , b, c là các số thực cùng a + b +c =1 minh chứng rằng Giải: vận dụng BĐT BunhiaCôpski đến 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang đến a,b,c là các số dương . Chứng tỏ rằng (1)Giải: (1) áp dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng cách thức bắc mong 1) cho 0 0 .Cminh rằng: Giải: vày a ,b ,c ,d > 0 nên ta có (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta gồm : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo bố cạnh tam giác chứng minh rằng : Giải: vì a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác đề nghị ta tất cả a,b,c > 0 cùng a 0 cùng x+y+z =1 Giải: do x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi đến x+y ; y+z ; x+z ta bao gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn số 1 là khi x=y=z= ví dụ như 3: cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta gồm (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski đến () với (1,1,1)Ta gồm Từ (1) cùng (2) Vậy có mức giá trị nhỏ dại nhất là khi x=y=z= lấy ví dụ như 4 : trong tam giác vuông gồm cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích s lớn độc nhất vô nhị Giải: gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao ở trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta bao gồm S = vì chưng a ko đổi nhưng x+y = 2a. Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn nhất Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn duy nhất 2/ cần sử dụng Bất đẳng thức để giải phương trình với hệ phương trình lấy ví dụ 1:Giải phương trình: Giải : Ta bao gồm Vậy vết ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình tất cả nghiệm nhất x = -1 lấy một ví dụ 2: Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xẩy ra khi x = 1 mặt khác lốt (=) xẩy ra khi y = - Vậy lúc x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ như 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) nên Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy tất cả nghiệm x = y = z = ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) tuyệt Từ phương trình (2) ví như x = thì y = 2 nếu x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm cùng 3/ sử dụng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên lấy ví dụ như 1: Tìm những số nguyên x,y,z ưng ý Giải:Vì x,y,z là các số nguyên đề xuất (*) Mà những số x,y,z cần tìm là ví dụ như 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính bao quát ta giả sử Ta bao gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1. Vắt z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy phải 1 = mà y nguyên dương phải y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 không thích phù hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là 1 nghiệm của phương trình Hoán vị những số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên đống ý phương trình (*) Giải: (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta bao gồm Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta có Nhưng cơ mà giữa k cùng k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số trong những nguyên dương như thế nào cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào tán đồng phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm tốt nhất là : bài bác tập đề xuất :Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 : HD : gửi vế quy đồng mẫu đem đến tổng bình phương những đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài bác 3: cho a, b. C > 0 cùng a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài 4 : đến . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: cho a, b >1. Search GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại và xét trường hợp lốt “=” xảy ra .Bài 9 : tra cứu GTLN cùng GTNN của y = HD: Đặt x= bài 10: mang lại 36xCmr : HD: Đặt : bài xích 11: Cmr : HD : Đặt x = bài 12: đến . Minh chứng rằng: bài bác 13: mang lại ABC tất cả a, b, c là độ dài các cạnh. Minh chứng rằng: bài bác 14: mang lại . Chứng minh rằng bài bác 15: . Chứng tỏ rằng: bài xích 16: có tồn lý do cho: ?Bài 17: mang đến ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB mang lần lược những điểm A’, B’, C’. Chứng tỏ rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít nhất 1 diện tích nhỏ tuổi hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)