Bất Đẳng Thức Lớp 10

     

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là nhì số thực. Các mệnh đề
*
là mệnh đề chứ phát triển thành thì
*
B""" />là mệnh đề đựng biến. Chứng minh bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là minh chứng mệnh đề cất biến
*
B""" />đúng với tất cả các quý hiếm của biến(thỏa mãn đk đó). Khi nói ta bao gồm bất đẳng thức
*
B" />mà ko nêu điều kiện so với các đổi thay thì ta hiểu rõ rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của thay đổi là số thực.

2. đặc điểm :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về quý hiếm tuyệt đối.

*

*
với phần đa số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số ko âm

Cho

*
, ta có
*
. Vết ‘=’ xảy ra khi còn chỉ khi
*
.

Hệ quả:

* hai số dương gồm tổng không thay đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bởi nhau

* hai số dương tất cả tích không đổi thì tổng bé dại nhất khi nhì số đó bởi nhau

b) Đối với tía số ko âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Lốt ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Cách thức giải.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT)

*
ta rất có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi hội chứng minh

*
. Để minh chứng nó ta hay sử dụng những hằng đẳng thức nhằm phân tích
*
thành tổng hoặc tích của các biểu thức không âm.

Xuất phạt từ BĐT đúng, chuyển đổi tương đương về BĐT đề nghị chứng minh.

2.Các ví dụ như minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương tự về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho nhì số thực

*
. Minh chứng rằng các bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương tự với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT trên được vận dụng nhiều, cùng được xem như thể “bổ đề” trong chứng tỏ các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Chứng minh rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Xem thêm: Hướng Dẫn Các Cách Lưu Giữ Ảnh Trên Mạng Mới Nhất 2020, Sao Lưu Ảnh Và Video

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát từ 1 BĐT đúng ta chuyển đổi đến BĐT đề nghị chứng minh

Đối với loại này thường cho giải thuật không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến bao hàm ràng buộc quánh biệt

* chăm chú hai mệnh đề sau hay dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài tía cạnh tam giác. Chứng tỏ rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng tía BĐT đó lại với nhau ta gồm đpcm

Nhận xét:*Ở trong vấn đề trên ta đã bắt nguồn từ BĐT đúng kia là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Tiếp nối vì cần xuất hiện bình phương yêu cầu ta nhân nhị vế của BĐT cùng với c.

Ngoài ra nếu khởi nguồn từ BĐT

*
" />. Bệnh minh:
*

Lời giải:

Cách 1:

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên tự (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần minh chứng tương đương với

*

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ cần chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo dấn xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT lúc đầu được bệnh minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chăm chú khi thực hiện bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì những số bắt buộc là đầy đủ số ko âm

* BĐT côsi thường xuyên được vận dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng với tích

* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có hiệ tượng khác thường xuất xắc sử dụng

Đối với hai số:

*
.

Đối với cha số:

*

2.Các lấy một ví dụ minh họa.

Loại 1:Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Chứng tỏ rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt khác ta có

*
(1)

Từ (1) và (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Chứng minh rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có

*
, tựa như ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho cha số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt không giống theo BĐT côsi cho bố số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) với (2) suy ra

*

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: Cao Hà Thủ Ô Trị Rụng Tóc ? Hà Thủ Ô Tw3 Chống Rụng Tóc 30 Viên

Để minh chứng BĐT ta thường phải biến hóa (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để sinh sản biểu thức hoàn toàn có thể giản ước được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi gặp mặt BĐT gồm dạng
*
(hoặc
*
), ta hay đi chứng minh
*
(hoặc
*
), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều nên chứng minh.Khi bóc và vận dụng BĐT côsi ta nhờ vào việc bảo đảm an toàn dấu bởi xảy ra(thường vệt bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc trên biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Minh chứng rằng: